kaniagostyn *UKS Kania Gostyń

ql zadanie z teorii mnogosci.... Nosilem sie z wyslaniem od dluzszego czasu - nie mialem problemu z
rozwiazaniem, jednak odpowiedz... W kazdym razie, jakby ktos chcial sie
chwile zastanowic to polecam (rozwiazanie na dole postu):

Czy istnieje lancuch przeliczalnych podzbiorow R (w sensie relacji
inkluzji), ktorego suma jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Odp: tak. Dowod niewprost: przyjmijmy, ze nie istnieje, tzn. suma
kazdego lancucha przeliczalnych podzbiorow R jest przeliczalna.
Rozpatrzmy zbior wszystkich przeliczalnych podzbiorow R uporzadkowany
relacja inkluzji (oznaczmy go A). Wezmy dowolny lancuch w tym zbiorze.
Jego suma jest jest przeliczalna (z zalozenia dowodu niewprost), czyli
nalezy do A - suma ta jest ograniczeniem gornym danego lancucha. Wobec
tego kazdy lancuch ma w A ograniczenie gorne, wiec A zawiera element
maksymalny (lemat Kuratowskiego-Zorna). Sprzecznosc - do dowolnego
przeliczalnego podzbior R (oznaczmy B) mozna dodac pewien element zbioru
R-B (ktory jest niepusty, bo B jest przeliczalny, zas R mocy continuum).
Stad teza.

Pozdrawiam,
Marek

ps. jeden z najfajnieszych dowodow z uzyciem lematu K-Z jaki
spotkalem...

Pokaż , że w P(N) istnieje antylancuch mocy continuum.
kombinowalem na rozne sposoby, z wstawaniem na glowe wlacznie :-)...ale
nic
nie potrafie wyciagnac ponad Alef 0.
Moze taki antylancuch nie istnieje


Istnieje, Lech Duraj podał prosty przykład:

(Jeśli chcesz pogłówkować, to nie zaglądaj tam, tylko skorzystaj, podobnie
jak to można zrobić w przypadku łańcucha, z tego, że pomiędzy dwiema różnymi
liczbami rzeczywistymi jest zawsze liczba wymierna)

http://groups.google.pl/groups?hl=pl&lr=&ie=UTF-8&oe=UTF-8&selm=b0ps9...
%241%40news.onet.pl

pzdr.
MŚ

Wlodzimierz Holsztynski wrote:
Otrzymalismy wiec kontinuum nieskonczonych
zbiorow  A(x)  liczb wymiernych, przy czym
przeciecie zbiorow  A(x) cap A(y) jest

        skonczone(!)

dla dowolnych  x =/= y.  Jest to wiec przyklad
wymaganego lancucha.


Też o tym myślałem, ale to jest dużo mocniejsze. Taka rodzina nazywa się
rodziną prawie rozłączną. Można też taką rodzinę zrobić na przykład w
zbiorze węzłów pełnego drzewa binarnego (każde 2 gałęzie mają skończone
przecięcie). Można też w Z x Z rysując pod różnymi kątami na
płaszczyźnie pasy o szerokości 2.

Ogólnie, rodzinę podzbiorów zbioru mocy kappa nazywa się prawie
rozłączną, jeżeli składa się ze zbiorów mocy kappa, a każde 2 elementy
tej rodziny mają przecięcie mocy mniejszej od kappa. Można pokazać, że
dla dowolnego zbioru mocy kappa istnieje prawie rozłączna rodzina jego
podzbiorów, która jest mocy większej od kappa.

Dla kappa=Aleph_0 można pokazać (co właśnie zrobił Włodek, a ja
naszkicowałem w pierwszym akapicie), że istnieje rodzina prawie
rozłączna nie tylko mocy Aleph_1, ale nawet mocy continuum, czyli
2^Aleph_0.

Przy założeniu Hipotezy Continuum, można pokazać, że istnieje prawie
rozłączna rodzina podzbiorów zbioru mocy Aleph_1, która jest mocy
2^Aleph_1.

Zadaniem dla ambitnych jest pokazanie, że ostatniego faktu nie można
pokazać bez dodatkowych założeń teoriomnogościowych (CH, itp.).

Pozdrawiam
Marcin

Zbior P(N) (podzbiorów zbioru liczb naturalnych) porzadkujemy
czesciowo przez
relacje inkluzji. Czy istnieje lancuch mocy continuum?


Gdyby istniał, to łatwo możnaby zauważyć, że N jest mocy
continuum :-)

pzdr.
MŚ.

| Zbior P(N) (podzbiorów zbioru liczb naturalnych)
porzadkujemy
czesciowo przez
| relacje inkluzji. Czy istnieje lancuch mocy continuum?

Gdyby istniał, to łatwo możnaby zauważyć, że N jest mocy
continuum :-)

Ciekawsze pytanie - czy istnieje nieprzeliczalny antyłańcuch?

pzdr.
MŚ.

| Zbior P(N) (podzbiorów zbioru liczb naturalnych)


porzadkujemy czesciowo

przez
| relacje inkluzji. Czy istnieje lancuch mocy continuum?

To moze wydawac sie nieprawdopodobne, ale tak.

Pokażę łańcuch, w którym każdy element jest indeksowany liczbą
rzeczywistą
dodatnią i element o większym indeksie jest nadzbiorem tego o
mniejszym.

Indeksowi x przyporządkowujemy zbiór liczb n dla ktorych fi(n)
< x, gdzie
fi(n) jest bijekcją z N w Q.


NIESAMOWITE!

pzdr.
MŚ.

| Zbior P(N) (podzbiorów zbioru liczb naturalnych) porzadkujemy
czesciowo przez
| relacje inkluzji. Czy istnieje lancuch mocy continuum?

Gdyby istniał, to łatwo możnaby zauważyć, że N jest mocy
continuum :-)


Ja dalej nie widze...

Tomek

Uzytkownik "Tomek Czajka" <tcza@mimuw.edu.plnapisal w
wiadomosci

| Zbior P(N) (podzbiorów zbioru liczb naturalnych)
porzadkujemy
| czesciowo przez
| relacje inkluzji. Czy istnieje lancuch mocy continuum?

| Gdyby istniał, to łatwo możnaby zauważyć, że N jest mocy
| continuum :-)

Ja dalej nie widze...


Czego? Zobacz reszte watku, tutaj nie mialem racji

pzdr.
MS.

Pokaż,że w P(N) istnieje lancuch mocy continuum.

Dziekuje za cenne wskazowki i Pozdrawiam
Karol B.

karol wrote:
| Rozumiem :-) ze mam skorzystac z rownolicznosci Q z N. Ale jednak
| wydaje mi sie ze latwiej pokazac,iz w P(N) istnieje lancuch o mocy c
| . Choc moze sie myle. Nie potrafie tego formalnie zapisac... moglby
| mi Pan szkic pokazac?

Nie wiem, dlaczego uważa Pan, że w P(N) łatwiej, więc takiego szkicu
Panu nie pokażę. W P(Q) taki łańcuch się sam narzuca, a "przeniesienie"
go do P(N) nie nastręcza trudności.


Do pytającego: w archiwum byly 2 wątki na ten sam temat, bardzo ciekawe,
polecam

Do odpowiadającego: wiem, że było to poruszane, ale troche się już pogubilem
(w archiwum jest ze 100 postow na ten temat)

Pytanie:
Czy w P(N) istnieje łańcuch mocy continuum, w którym relacją porządku
jest relacja inkluzji?

Wydaje mi się, że nie, jednak po tym co przeczytalem w archiwum
sam już nie wiem ;-)

pozdrawiam
Maciek Kalbarczyk

Pokaż,że w P(N) istnieje lancuch mocy continuum.

Dziekuje za cenne wskazowki i Pozdrawiam
Karol B.


Niech

 B(x)  :=  {(2*a-1)*2^t :  (2*a-1)/2^t < x,
                           a in N, t in {0}cup N}

dla dowolnego rzeczywistego  x 0.

Wtedy  {B(x) : x in (0;oo)}  jest poszukiwanym
lancuchem.

Pozdrawiam raz jeszcze,

    Wlodek

Mam następujące zadanie:
Pokaż, że w P(N) istnieje łańcuch mocy continuum.

Niestety nie bardzo mogę sobie to wyobrazić.
Może taki nie istenieje ?
Jak bym na to nie patrzył zawsze wychodzi mi, że max moc tekiego łańcuch to
alef zeor.

pozdrawiam

Piotrek

Skonstruuj lancuch podzbiorow, uporzadkowany tak jak
liczby dwojkowo wymierne:  k/2^n, z odcinka  [0 1].
wtedy latwo uzupelnisz tem lancuch do wiekszego,
uporzadkowanego tak jak odcinek  [0 1].
Dostaniesz nie tylko moc, ale i typ uporzadkowania
odcinka  [0 1].


Niestety niewiele wiem o porządku liczb dwójowo wymiernych.
Czy mógłbym prosić o dokładniejsze wytłumaczenie problemu,
bo jakoś nie rozumiem sposobu konstrukcji tego łańcucha -
przeceż liczb wymiernych nie jest continuum tylko alef zero.
Może to poprostu wynika z mojej małej wiedzy ale mimo wszystko
prosze o pomoc w zrozumieniu.
Może jakiś mały przykład :)

z góry dzękuję i pozdrwiam

Piotrek